Hiperbola

A. Pengertian Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan titik-titik atau tempat kedudukan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu (titik fokus) selalu sama. Hiperbola ada dua macam, yaitu hiperbola dengan titik pusat O (0,0) dan hiperbola dengan titik pusat P (p,q).

1. Hiperbola dengan Pusat O (0,0)

 Persamaan hiperbola yang berpusat di O dan titik fokus terletak di sumbu x adalah

berdasarkan gambar di atas, unsur penyusun dari suatu hiperbola adalah

• Titik Pusat O (0,0)
• Titik Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)
• Persamaan asimtot hiperbola 

 

• Eksentrisitas e=c/a dengan

 

• Persamaan Direktris

 

• Panjang Latus Rectum

 

• Persamaan sumbu simetri utama y = 0 
• Persamaan sumbu simetri sekawan x = 0

2.  Hiperbola dengan Pusat P (p,q)

 Persamaan hiperbola yang berpusat di P adalah

berdasarkan gambar di atas, unsur penyusun dari suatu hiperbola adalah

• Titik Pusat P (p,q)
• Titik Fokus F1 (p-c, 0) dan F2 (p+c,0)
• Persamaan asimtot hiperbola 

• Eksentrisitas e=c/a dengan

 

• Persamaan Direktris

• Panjang Latus Rectum

 

• Persamaan sumbu simetri utama y =q
• Persamaan sumbu simetri sekawan x =p

contoh soal :
Tentukan persamaan hiperbola jika memiliki titik pusat (3,1), titik fokus (8,1) dan (-2,1), serta titik puncak (7,1) dan (-1,1).

Penyelesaian :
titik pusat (3,1), maka p = 3 dan q = 1
titik fokus (8,1) dan (-2,1), maka

titik puncak (7,1) dan (-1,1), maka

nilai b adalah

sehingga persamaan hiperbola yang didapat adalah

B. Aplikasi Konsep Parabola

contoh :
Dua ekor semut berjalan dengan jalur berbeda, masing-masing jalur tersebut adalah

apakah lintasan kedua semut tersebut berpotongan ?

Penyelesaian :
lintasan semut yang pertama :

 maka nilai c = 10
titik pusat O (0,0), titik fokus F1 (c, 0) = (10, 0) dan F2 (-c, 0) = (-10, 0)
titik puncak P1 (a, 0) = (6, 0) dan P2 (-a, 0) = (-6, 0)
Persamaan asimtot :

Persamaan direktris :

panjang latus rektum : (2(64))/6 = 64/3


lintasan semut yang kedua : 

maka nilai c = 13
titik pusat O (0,0), titik fokus F1 (c, 0) = (13, 0) dan F2 (-c, 0) = (-13, 0)
titik puncak P1 (a, 0) = (12, 0) dan P2 (-a, 0) = (-12, 0)
Persamaan asimtot :

Persamaan direktris :

panjang latus rektum : (2(25))/12 = 25/6

dari unsur-unsur hiperbola di atas, sketsa grafik kedua lintasan semut tersebut adalah seperti di bawah ini

dari sketsa di atas, didapat kesimpulan bahwa lintasan kedua semut tersebut tidak berpotongan.


C. Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Persamaan garis singgung pada hiperbola

• dengan titik singgung T(x1, y1)

                                    

• dengan gradien m

Sifat utama garis singgung :
Garis singgung di suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudut antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api.